\documentclass[a4paper,12pt]{report}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath,mathtext,cite,enumerate,float} %подключаем нужные пакеты расширений
\usepackage{graphicx} 
\graphicspath{{images/}}%путь к рисункам


%\usepackage{courier} 

\usepackage{listings}

\lstset{language=C,
        basicstyle       = \footnotesize\ttfamily,
        keywordstyle     = \bfseries,
        showstringspaces = false,
        morekeywords     = {include}
}

\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\section{Две стратегии сэмплирования}

\noindent В предыдущем разделе мы познакомились с двумя стратегими сэмплирования (стратегиями генерации выборок) - сэмплирование по ДФО и сэмплирование по источнику света (рис. \ref{fig:lightsampling}). Будем называть сэмплирование по ДФО \underline{неявной} стратегией, а сэмплироание по источнику -  \underline{явной}.

\noindent Для того чтобы иметь корректный результат, мы могли использовать явную и неявную стратегии (превращая оставшуюся часть пути в "каустический" путь), но не могли смешивать их. То есть если сгенерированный по неявной стратегии путь попадал в источник света из той-же точки, в которой уже был учтен теневой луч по явной стратегии, неявный луч приходилось исключать из расчетов. Однако, в этом случае эффективность расчета падает, особенно если неявных лучей попадющих в источник много. Далее мы рассмотрим, как можно смешивать явную и неявную стратегии чтобы учитывать их одновременно и избежать избыточных вычислений.

\section{Многократная выборка по значимости}

\noindent Для того чтобы корректно комбинировать явную и неявную стратегии, Эриком Вичем [cсылка] был предложен метод многократной выборки по значимости (англ. Multiple Importance Sampling, MIS), который позволяет скомбинировать результаты нескольких способов выборки (нескольких стратегий сэмплирования) в одну несмещенную оценку. Для обратной трасирови путей cхема многократной выборки по значимости будет иметь следущий вид: 

\begin{eqnarray*}
p_{e} = cos(\theta) / \pi \\
p_{i} = 1/A \\
w_{e} = \dfrac{p^{\beta}_{e}}{p^{\beta}_{i} + p^{\beta}_{e}} \\
w_{i} = \dfrac{p^{\beta}_{i}}{p^{\beta}_{i} + p^{\beta}_{e}} \\
\beta = 2
\end{eqnarray*}

\noindent $ \theta $ - угол между нормальню и отраженным лучом. $ p_{e} $ - плотность вероятности для неявной стратегии. В данной формуле считается, что сэмплирование ДФО было произведено при помощи косинусодидального распределения (косинус в первой степени). Если это не так, то $ p_{e} $ нужно вычислять исходя из того, как выбирался случайный отраженный луч. $ p_{i} $ -  плотность вероятности для явной стратегии. $A$ - площадь поверхности источника освещения. $ w_{e} $ - вес для учета яркости полученной по неявной стратегии. $ w_{i} $ - вес для учета яркости полученной по явной стратегии.

\noindent Для того чтобы реализовать многократную выборку по значимости нужно отдельно хранить яркость пришедшую от источника света в направлениитенево го луча ($ L_{i} $) и в случае если отраженный луч попал в источник света (и дал яркость $ L_{e} $) результирующая яркость должна быть вычислена по формуле:

\begin{eqnarray*}
  L =  L_{e}*w_{e} + L_{i}*w_{i}
\end{eqnarray*}


\end{document}